图的基础

一、图的基本概念

1. 图的定义

定义:图(graph)是由一些点(vertex)和这些点之间的连线(edge)所组成的;其中,点通常被成为"顶点(vertex)",而点与点之间的连线则被成为"边或弧"(edege)。通常记为,G=(V,E)。

2. 图的种类

根据边是否有方向,将图可以划分为:无向图有向图

2.1 无向图

上面的图G0是无向图,无向图的所有的边都是不区分方向的。G0=(V1,{E1})。其中,

(01) V1={A,B,C,D,E,F}。 V1表示由"A,B,C,D,E,F"几个顶点组成的集合。

(02) E1={(A,B),(A,C),(B,C),(B,E),(B,F),(C,F), (C,D),(E,F),(C,E)}。 E1是由边(A,B),边(A,C)...等等组成的集合。其中,(A,C)表示由顶点A和顶点C连接成的边。

2.2 有向图

上面的图G2是有向图。和无向图不同,有向图的所有的边都是有方向的! G2=(V2,{A2})。其中,

(01) V2={A,C,B,F,D,E,G}。 V2表示由"A,B,C,D,E,F,G"几个顶点组成的集合。

(02) A2={<A,B>,<B,C>,<B,F>,<B,E>,<C,E>,<E,D>,<D,C>,<E,B>,<F,G>}。 E1是由矢量<A,B>,矢量<B,C>...等等组成的集合。其中,矢量<A,B)表示由"顶点A"指向"顶点B"的有向边。

3. 邻接点和度

3.1 邻接点

一条边上的两个顶点叫做邻接点。

例如,上面无向图G0中的顶点A和顶点C就是邻接点。

在有向图中,除了邻接点之外;还有"入边"和"出边"的概念。

顶点的入边,是指以该顶点为终点的边。而顶点的出边,则是指以该顶点为起点的边。

例如,上面有向图G2中的B和E是邻接点;<B,E>是B的出边,还是E的入边。

3.2 度

在无向图中,某个顶点的度是邻接到该顶点的边(或弧)的数目。

例如,上面无向图G0中顶点A的度是2。

在有向图中,度还有"入度"和"出度"之分。

某个顶点的入度,是指以该顶点为终点的边的数目。而顶点的出度,则是指以该顶点为起点的边的数目。 顶点的度=入度+出度。

例如,上面有向图G2中,顶点B的入度是2,出度是3;顶点B的度=2+3=5。

4. 路径和回路

路径:如果顶点(Vm)到顶点(Vn)之间存在一个顶点序列。则表示Vm到Vn是一条路径。

路径长度:路径中"边的数量"。

简单路径:若一条路径上顶点不重复出现,则是简单路径。

回路:若路径的第一个顶点和最后一个顶点相同,则是回路。

简单回路:第一个顶点和最后一个顶点相同,其它各顶点都不重复的回路则是简单回路。

5. 连通图和连通分量

连通图:对无向图而言,任意两个顶点之间都存在一条无向路径,则称该无向图为连通图。 对有向图而言,若图中任意两个顶点之间都存在一条有向路径,则称该有向图为强连通图。

连通分量:非连通图中的各个连通子图称为该图的连通分量。

6. 权

在学习"哈夫曼树"的时候,了解过"权"的概念。图中权的概念与此类似。

上面就是一个带权的图。

二、图的存储结构

上面了解了"图的基本概念",下面开始介绍图的存储结构。图的存储结构,常用的是"邻接矩阵"和"邻接表"。

1. 邻接矩阵

邻接矩阵是指用矩阵来表示图。它是采用矩阵来描述图中顶点之间的关系(及弧或边的权)。 假设图中顶点数为n,则邻接矩阵定义为:

下面通过示意图来进行解释。

图中的G1是无向图和它对应的邻接矩阵。

图中的G2是无向图和它对应的邻接矩阵。

通常采用两个数组来实现邻接矩阵:一个一维数组用来保存顶点信息,一个二维数组来用保存边的信息。 邻接矩阵的缺点就是比较耗费空间。

2. 邻接表

邻接表是图的一种链式存储表示方法。它是改进后的"邻接矩阵",它的缺点是不方便判断两个顶点之间是否有边,但是相对邻接矩阵来说更省空间。

图中的G1是无向图和它对应的邻接矩阵。

图中的G2是有向图和它对应的邻接矩阵。

三、图的深度/广度优先遍历

1. 深度优先搜索介绍

图的深度优先搜索(Depth First Search),和树的先序遍历比较类似。

它的思想:假设初始状态是图中所有顶点均未被访问,则从某个顶点v出发,首先访问该顶点,然后依次从它的各个未被访问的邻接点出发深度优先搜索遍历图,直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。 若此时尚有其他顶点未被访问到,则另选一个未被访问的顶点作起始点,重复上述过程,直至图中所有顶点都被访问到为止。

显然,深度优先搜索是一个递归的过程。

2. 深度优先搜索图解

2.1 无向图的深度优先搜索

下面以"无向图"为例,来对深度优先搜索进行演示。

对上面的图G1进行深度优先遍历,从顶点A开始。

第1步:访问A。

第2步:访问(A的邻接点)C。

​ 在第1步访问A之后,接下来应该访问的是A的邻接点,即"C,D,F"中的一个。但在本文的实现中,顶点ABCDEFG是按照顺序存储,C在"D和F"的前面,因此,先访问C。

第3步:访问(C的邻接点)B。

​ 在第2步访问C之后,接下来应该访问C的邻接点,即"B和D"中一个(A已经被访问过,就不算在内)。而由于B在D之前,先访问B。

第4步:访问(C的邻接点)D。

​ 在第3步访问了C的邻接点B之后,B没有未被访问的邻接点;因此,返回到访问C的另一个邻接点D。

第5步:访问(A的邻接点)F。

​ 前面已经访问了A,并且访问完了"A的邻接点B的所有邻接点(包括递归的邻接点在内)";因此,此时返回到访问A的另一个邻接点F。

第6步:访问(F的邻接点)G。

第7步:访问(G的邻接点)E。

因此访问顺序是:A -> C -> B -> D -> F -> G -> E

2.2 有向图的深度优先搜索

下面以"有向图"为例,来对深度优先搜索进行演示。

对上面的图G2进行深度优先遍历,从顶点A开始。

第1步:访问A。

第2步:访问B。

​ 在访问了A之后,接下来应该访问的是A的出边的另一个顶点,即顶点B。

第3步:访问C。

​ 在访问了B之后,接下来应该访问的是B的出边的另一个顶点,即顶点C,E,F。在本文实现的图中,顶点ABCDEFG按照顺序存储,因此先访问C。

第4步:访问E。

​ 接下来访问C的出边的另一个顶点,即顶点E。

第5步:访问D。

​ 接下来访问E的出边的另一个顶点,即顶点B,D。顶点B已经被访问过,因此访问顶点D。

第6步:访问F。

​ 接下应该回溯"访问A的出边的另一个顶点F"。

第7步:访问G。

因此访问顺序是:A -> B -> C -> E -> D -> F -> G

3. 广度优先搜索介绍

广度优先搜索算法(Breadth First Search),又称为"宽度优先搜索"或"横向优先搜索",简称BFS。

它的思想是:从图中某顶点v出发,在访问了v之后依次访问v的各个未曾访问过的邻接点,然后分别从这些邻接点出发依次访问它们的邻接点,并使得“先被访问的顶点的邻接点先于后被访问的顶点的邻接点被访问,直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到。如果此时图中尚有顶点未被访问,则需要另选一个未曾被访问过的顶点作为新的起始点,重复上述过程,直至图中所有顶点都被访问到为止。

换句话说,广度优先搜索遍历图的过程是以v为起点,由近至远,依次访问和v有路径相通且路径长度为1,2...的顶点。

4. 广度优先搜索图解

4.1 无向图的广度优先搜索

下面以"无向图"为例,来对广度优先搜索进行演示。还是以上面的图G1为例进行说明。

第1步:访问A。

第2步:依次访问C,D,F。

​ 在访问了A之后,接下来访问A的邻接点。前面已经说过,在本文实现中,顶点ABCDEFG按照顺序存储的,C在"D和F"的前面,因此,先访问C。再访问完C之后,再依次访问D,F。

第3步:依次访问B,G。

​ 在第2步访问完C,D,F之后,再依次访问它们的邻接点。首先访问C的邻接点B,再访问F的邻接点G。

第4步:访问E。 ​ 在第3步访问完B,G之后,再依次访问它们的邻接点。只有G有邻接点E,因此访问G的邻接点E。

因此访问顺序是:A -> C -> D -> F -> B -> G -> E

4.2 有向图的广度优先搜索

下面以"有向图"为例,来对广度优先搜索进行演示。还是以上面的图G2为例进行说明。

第1步:访问A。

第2步:访问B。

第3步:依次访问C,E,F。

​ 在访问了B之后,接下来访问B的出边的另一个顶点,即C,E,F。前面已经说过,在本文实现中,顶点ABCDEFG按照顺序存储的,因此会先访问C,再依次访问E,F。

第4步:依次访问D,G。 ​ 在访问完C,E,F之后,再依次访问它们的出边的另一个顶点。还是按照C,E,F的顺序访问,C的已经全部访问过了,那么就只剩下E,F;先访问E的邻接点D,再访问F的邻接点G。

因此访问顺序是:A -> B -> C -> E -> F -> D -> G